ATIVIDADES DE ENSINO B
As grandezas vetoriais são muito comuns na natureza. São exemplos de grandezas vetoriais as Forças, as Velocidades, as Acelerações,etc. Você já estudou as caracteristicas mais importatnes das grandezas vetoriais. Sabe que ao trabalhar com grandezas deste tipo devemos levar em conta a direção e o sentido da grandeza.
Outra coisa importante: As grandezas vetoriais se somam, se multiplicam de uma maneira diferente das grandezas escalares que estamos acostumados. Isto significa que você, ao estuda-las, terá que aprender novas maneiras de somar, subtrair, multiplicar e dividir.
As grandezas vetoriais são muito estranhas. Ao soma-las, nem sempre 2 + 2 = 4 !
Isto parece confuso ? Um exemplo: Você e sua esposa querem mudar a mesa da sala de lugar. Ambos ( pois formam um casal muito unido) empurram a mesa para um mesmo lado fazendo forças iguais de duas unidades cada uma. A força total feita por vocês é de quatro unidades ( 2 + 2 = 4 ). A mesa se move.
A sua esposa muda de ideia. Quer colocar a mesa em outro lugar da sala. Você não concorda. Ela empurra para um lado, você para o lado oposto. Cada um fazendo uma força de duas unidades. A mesa não sai do lugar. Isto por que a força total feita por vocês é nula ( 2 + 2 = 0 ).
As forças aplicadas nas duas situações têm as mesmas intensidades ( duas unidades cada uma ). Mas se têm a mesma direção no primeiro caso, no segundo as direções são opostas e elas se anulam.
Não tem jeito: você terá que aprender a somar e a multiplicar novamente.
Os objetos matemáticos que representam as grandezas vetoriais são chamados VETORES. Vamos agora aprender como fazer contas com eles.
CÁLCULO VETORIAL
Nestas atividades de ensino, você vai ler textos e resolver exercícios que lhe permitirão:
VETOR
Para representar as grandezas vetoriais, tomamos um segmento orientado de modo que :
a ) o comprimento do segmento represente a quantidade denominada intensidade ou módulo;
b ) a reta que contém o segmento indique a direção;
c ) a orientação do segmento indique o sentido.
Figura 15 - A representação gráfica de um vetor
Esse segmento orientado denomina-se vetor, ou seja, vetor é o número associado à direção e ao sentido, que representa geometricamente a grandeza vetorial.
Figura 16 - A notação do vetor V
Pelo desenho o vetor v tem módulo de 5 unidades, direção horizontal e sentido da esquerda para a direita.
Figura 17 - A notação do vetor F
Pelo desenho o vetor F tem módulo de 3 unidades, direção vertical e sentido da baixo para a cima.
Quando desejamos apenas a intensidade ou módulo do vetor, representamos da seguinte forma:
Figura 18 - Notação do módulo de um vetor
Vetores equipolentes
Vetores equipolentes ou vetores iguais são vetores que têm a mesma intensidade, a mesma direção e o mesmo sentido.
Figura 19 - Vetores iguais (ou equipolentes)
Assim, pela nossa definição duas setas paralelas e do mesmo tamanho representam o mesmo vetor.
Vetores opostos
Vetores opostos são vetores que têm a mesma intensidade, a mesma direção, porém sentidos opostos ( contrários ).
Figura 20 - Dois vetores. Um vetor é oposto ao outro
Lembre-se: Em termos geométricos o vetor oposto é representado pela mesma seta que sofreu um giro de 180 graus. Em termos algébricos usamos o sinal negativo colocado antes do nome para indicar o vetor oposto.
ADIÇÃO DE VETORES
Fazer a adição de dois ou mais vetores significa calcular um vetor único que tem o mesmo efeito dos vetores que compõem o sistema e a esse vetor chamamos de Resultante ou Vetor Soma.
A determinação do Vetor Soma (ou da Resultante) faz-se através da regra do paralelogramo ou da regra do polígono, como veremos.
1 ) Regra do paralelogramo
Deslocamos os dois vetores a serem somados de tal maneira que o início das setas fiquem sobre uma origem comum, o ponto O. A seguir traçam-se paralelas a um vetor passando pela ponta do outro formando um paralelogramo.
Na animação abaixo vamos somar o Vetor u e o Vetor v pelo método do paralelogramo.
Clique primeiro no botão " I<< " para posicionar a animação no seu início. Clique no botão " >> " para avançar um passo. Um clique para cada passo. Para retornar ao início clique no botão " I<< " .
ATENÇÃO
Os vetores que compõem o sistema são denominados vetores componentes, e a resultante é o "vetor u + v", diagonal do paralelogramo com origem no ponto O e extremidade no vértice oposto do paralelogramo.
2 - Regra do polígono
A regra do paralelogramo é útil para na soma de dois vetores. Para o caso geral, isto é, para somarmos um número qualquer de vetores devemos aplicar a regra do polígono.
Dados vários vetores, para se determinar a sua resultante procede-se da seguinte forma:
Como exemplo vamos efetuar a soma de quatro vetores:
Para isto vamos usar a animação a seguir.
Clique primeiro no botão " I<< " para posicionar a animação no seu início. Clique no botão " >> " para avançar um passo. Um clique para cada passo. Para retornar ao início clique no botão " I<< " .
ATENÇÃO:
A ) Lembre-se que ao se deslocar a seta não devemos mudar o seu tamanho e a sua direção. Se o fizermos estaremos trabalho com um vetor diferente.
B ) Não importa a ordem que os vetores são deslocados. A adição vetorial possui as propriedades comutativa e associativa. Em qualquer ordem que se fizer a soma o resultado será sempre o mesmo.
Casos especiais
A regra do paralelogramo se torna um pouco confusa quando tentamos somar vetores colineares, isto é, vetores com a mesma direção. Neste caso não se formará um polígono. No desenho as setas ficam umas sobre as outras e isto torna o desenho difícl de entender. Por outro lado nestes casos podemos calcular facilmente o módulo do vetor soma.
Para evitar essa confusão vamos desenhar os vetores um abaixo do outro. Logo depois vamos mostrar uma maneira de somar os vetores sem a necessidade de desenhar as setas.
a ) Caso em que os vetores têm a mesma direção e o mesmo sentido.
Vamos somar os vetores u de módulo 2 e o vetor v de módulo 3 unidades. Vamos aplicar a regra do polígono usando para isto uma animação.
Clique primeiro no botão " I<< " para posicionar a animação no seu início. Clique no botão " >> " para avançar um passo. Um clique para cada passo. Para retornar ao início clique no botão " I<< " .
Note que usando a escala você pode calcular o módulo do vetor soma (use a grade do desenho para se orientar). O módulo vale 5.
Uma maneira alternativa de realizar a soma é proceder da seguinte maneira:
- O vetor resultante terá a mesma direção e sentido dos dois vetores que foram somados.
- O módulo do vetor resultante terá o valor da soma dos módulos desses dois vetores.
b ) Caso em que os vetores têm a mesma direção, porém sentidos opostos.
Vamos somar os vetor u de módulo 7 e o vetor v de módulo 3 unidades. Vamos mais uma vez a regra do polígono para realizar a soma.
Clique primeiro no botão " I<< " para posicionar a animação no seu início. Clique no botão " >> " para avançar um passo. Um clique para cada passo. Para retornar ao início clique no botão " I<< " .
Uma maneira alternativa de realizar a soma é proceder da seguinte maneira:
- O vetor resultante terá a mesma direção e sentido do vetor de maior módulo entre os dois vetores que foram somados.
- O módulo do vetor resultante terá o valor da diferença dos módulos desses dois vetores.
c ) Caso em que os vetores têm direções perpendiculares entre si.
Vamos somar o vetor b de módulo 3 unidades com o vetor c de módulo com 4 unidades usando o método do paralelogramo.
Vamos usar a animação abaixo para entender como realizar a soma dos dois vetores.
Clique primeiro no botão " I<< " para posicionar a animação no seu início. Clique no botão " >> " para avançar um passo. Um clique para cada passo. Para retornar ao início clique no botão " I<< " .
- Para calcular a direção e o sentido do vetor resultante faça a soma pelo método do paralelogramo.
- Para calcular o módulo do vetor resultante use o teorema de Pitágoras.
Os applets Java usados neste módulo foram produzidos com o software livre Geogebra.