Projeção de um vetor
No estudo da Física é útil conhecer as projeções de um vetor sobre duas direções perpendiculares entre si.
Dado o vetor v , se desejamos as projeções sobre o eixo "x" e "y" temos:
Figura 21 - Componentes perpendiculares de um vetor.
Como os eixos X e Y são perpendiculares entre si o polígono ABC é um triângulo retângulo. Assim, chamando o ângulo BÂC de:
Usando as definições de seno e cosseno para um triângulo retângulo temos:
Observe que
portanto os vetores Vx e Vy são, respectivamente, as componentes perpendiculares do vetor v nas direções "x" e "y".
Subtração de vetores
A diferença entre dois vetores é determinada pela regra da adição de vetores; basta adicionar ao primeiro vetor o oposto do segundo.
Em termos geométricos o vetor oposto é um vetor com o mesmo módulo e direção do vetor original e com sentido inverso, isto é, a seta que representa o vetor sofreu um giro de 180 graus.
Figura 22 - Subtração de dois vetores.
Vamos usar a animação abaixo para subtrair o vetor b do vetor a. Clique no botão " ]<< " para retornar ao inicio. Clique no botão " >> " para avançar a animação passo a passo.
Produto de um vetor por um número
Dado um número real qualquer "a" e um vetor v , chama-se produto do número "a" pelo vetor v , o vetor p = a.v que tem as seguintes características:
- Módulo: p = a . v
- Direção: a direção do vetor p é a mesma do vetor v
- Sentido: o sentido do vetor p será o mesmo do vetor v , se "a" for
positivo, e será oposto ao sentido do vetor v , se "a" for negativo.
positivo, e será oposto ao sentido do vetor v , se "a" for negativo.
Veja como funciona usando as setas:
Quando multiplicamos
Figura 23 - Produto de um vetor por um número.
Vamos usar a animação abaixo para multiplicar o vetor V pelo número "a". Clique sobre o seletor e arraste. Com isto você vai mudar o valor do número "a". Use a grade para avaliar o módulo do vetor.
Vamos fazer alguns exercícios:
- Faça a = 3. Repare no módulo do vetor a.V ( use a grade );
- Faça a = -3. Repare que o vetor inverte o sentido;
- Faça a = 0. Note que o vetor a.V se anula.
Lembre-se: Multiplicar um vetor por um número negativo significa multiplicar o módulo e inverter o seu sentido.
EXERCÍCIOS
FAÇA AGORA A VERIFICAÇÃO DO QUE VOCÊ APRENDEU NESTE TEXTO.
PARA RESOLVER OS EXERCÍCIOS QUE SE SEGUEM VOCÊ DEVE SABER:
QUESTÃO I - COLOQUE NOS PARÊNTESES "V", SE A AFIRMATIVA FOR VERDADEIRA OU "F", SE FOR FALSA.
1. ( ) - O componente de um vetor é necessariamente um vetor.
2. ( ) - O módulo da soma de dois vetores pode ser maior do que o
módulo de cada vetor.
3. ( ) - Vetores equipolentes são aqueles que têm a mesma
intensidade, a mesma direção e sentidos opostos.
QUESTÃO II - ASSINALE COM "X" A ÚNICA ALTERNATIVA CORRETA.
DADOS OS VETORES:
1. Marque alternativa que corresponde ao vetor resultante de:
2. Marque a alternativa que corresponde ao vetor resultante de:
DADOS OS VETORES:
3. Calcule o vetor resultante da adição mostrada abaixo.
4. DADO O VETOR:
QUESTÃO III - NA ANIMAÇÃO ABAIXO VOCÊ PODE CLICAR SOBRE AS SETAS E ARRASTA-LAS A SEU CRITÉRIO. FAÇA ISTO DE MODO A PODER COMPARA-LAS UMAS COM AS OUTRAS. DEPOIS RESPONDA AS PERGUNTAS:
5 - Responda:
a. Quais os critérios que se deve levar em conta para se afirmar que um vetor é igual ( ou equipolente ) a um outro vetor?
b. Os vetores D e F são vetores opostos?
c. Os vetores G e A são vetores iguais?
d. Os vetores F e E são vetores iguais?
e. Os vetores B e C são veotres opostos?
f. Os vetores G e C são vetores opostos?
CHAVE DE CORREÇÃO.
QUESTÃO I -
1. ( V )
2. ( V )
3. ( F ) pois vetores equipolentes ou iguais são vetores que têm a mesma intensidade, a mesma direção e o mesmo sentido.
QUESTÃO II -
1. b 2. c 3. a 4.a
QUESTÃO III -
5 a. Mesma direção, mesmo sentido e módulos iguais.
b. Sim.
c. Não.
d. Sim.
e. Não.
f. Sim.
BIBLIOGAFIA CONSULTADA
ÀLVAES, Beatriz Alvarenga & Luiz Antônio Máximo da. Curso de física. São Paulo, Editora Scipione, 2008. v.1.
Gaspar, Alberto. Física – Volume único. Editora Ática,2008.
Nussenzveig, Moysés H. Curso de Física Básica. Editora Edgar Blücher Ltda.São Paulo.1996.v1
AUTOAVALIAÇÃO DO MÓDULO 01.
QUESTÃO I - COMPLETE AS LACUNAS.
1. A reta sobre a qual foram definidos uma origem, uma unidade de comprimento e um sentido positivo é chamada de ___________________
2. A distância de um ponto à origem, no eixo vertical, é chamada de __________________
3. A distância de um ponto à origem, no eixo horizontal, é chamada de ________________
4. As grandezas que são caracterizadas somente por um número real e uma unidade de medida são chamadas de grandezas _________________
5. As grandezas que, além do módulo, necessitam da indicação da direção e do sentido são chamadas de grandezas____________________
6. Os vetores que têm a mesma intensidade, a mesma direção e sentidos opostos são chamados de vetores______________________
7. Os vetores que têm a mesma intensidade, a mesma direção e mesmo sentido são chamados de vetores_______________________ ou vetores________________________
QUESTÃO II - OBSERVE O SISTEMA DE EIXOS CARTESIANOS E RESPONDA ÀS QUESTÕES DE 8 A 13 ASSINALANDO A ÚNICA ALTERNATIVA CORRETA.
8. As coordenadas do ponto A são
a. ( ) (5, 1)
b. ( ) (1 ,5)
c. ( ) (1,-5)
d. Nenhuma das alternativas está correta
9. As coordenadas do ponto B são
a. ( ) (-2,-3)
b. ( ) (-5 ,2)
c. ( ) (-2 ,5)
d. Nenhuma das alternativas está correta.
10. As coordenadas do ponto C são
a. ( ) (3,-4)
b. ( ) (3 ,4)
c. ( ) (-4,3)
d. Nenhuma das alternativas está correta.
11. As coordenadas do ponto D são
a. ( ) ( 1, 1)
b. ( ) (-1,-1)
c. ( ) (-1, 1)
d. Nenhuma das alternativas está correta.
12. As coordenadas do ponto E são
a. ( ) (0,3)
b. ( ) (3,0)
c. ( ) (3)
d. Nenhuma das alternativas está correta.
13. As coordenadas do ponto F são
a. ( ) (0,4)
b. ( ) (4)
c. ( ) (4,0)
d. Nenhuma das alternativas está correta.
QUESTÃO III - ASSINALE A ÚNICA ALTERNATIVA CORRETA.
14. A resultante da soma dos vetores abaixo é:
15. A resultante da soma dos vetores abaixo é:
16. A resultante da diferença entre o primeiro vetor e o segundo vetor abaixo é:
17. Marque a alternativa correta. O vetor resultante do produto do número -2 pelo vetor representado abaixo é:
QUESTÃO IV - COLOQUE NOS PARÊNTESES "A", SE A UNIDADE PERTENCER AO SISTEMA INTERNACIONAL; "B", SE PERTENCER AO SISTEMA CGS.
18. ( ) 5 gramas
19. ( ) 2 newtons
20. ( ) 500 centímetros
Verifique suas respostas na Chave de Correção a seguir.
CHAVE DE CORREÇÃO DA AUTOAVALIAÇÃO.
QUESTÃO I.
QUESTÃO II.
QUESTÃO III.
QUESTÃO IV.
Neste ponto encerramos o módulo 01. Se você acertou todas as questões da autoavaliação e não tem mais dúvidas sobre os assuntos apresentados, faça a prova. Caso contrário, reestude o(s) texto(s), refazendo todos os exercícios.
Se desejar mais informações sobre os conceitos apresentados neste módulo ou então mais exercícios para melhorar o treinamento, por favor, consulte o arquivo do blog no final da página.
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Os applets Java usados neste módulo foram produzidos com o software livre Geogebra.